Показатели

Средние показатели

Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в экономических исследованиях, является средняя величина, представляющая собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени. Показатель в форме средней величины выражает типичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Он отражает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности. Широкое применение средних объясняется тем, что они имеют ряд положительных свойств, делающих их незаменимым инструментом анализа явлений и процессов в экономике.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные. Например, курс акций корпорации в основном определяется финансовыми результатами ее деятельности. В то же время, в отдельные дни и на отдельных биржах эти акции в силу сложившихся обстоятельств могут продаваться по более высокому или заниженному курсу. Сущность средней в том и заключается, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам.

Типичность средней непосредственным образом связана с однородностью статистической совокупности. Средняя величина только тогда будет отражать типичный уровень признака, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности. Так если мы рассчитаем средний курс по акциям всех предприятий, реализуемых в данный день на данной бирже, то получим фиктивную среднюю. Это будет объясняться тем, что используемая для расчета совокупность является крайне неоднородной. В этом и подобных случаях метод средних используется в сочетании с методом группировок: если совокупность неоднородна - общие средние должны быть заменены или дополнены групповыми средними, т.е. средними, рассчитанными по качественно однородным группам.

Категорию средней можно раскрыть через понятие ее определяющего свойства. Согласно этому понятию средняя, являясь обобщающей характеристикой всей совокупности, должна ориентироваться на определенную величину, связанную со всеми единицами этой совокупности. Эту величину можно представить в виде функции:

f(x1,x2,...,xn) (4.1.)

Так как данная величина, в большинстве случаев, отражает реальную экономическую категорию, понятие определяющего свойства средней иногда заменяют понятием определяющего показателя.

Если в приведенной выше функции все величины x1,x2,…,xn заменить их средней величиной х, то значение этой функции должно остаться прежним:

f(x1,x2,..,xn)=f(xЇ,xЇ,…,xЇ) (4.2.)

Исходя из данного равенства и определяется средняя. На практике определить среднюю во многих случаях можно через исходное соотношение средней (ИСС) или ее логическую формулу:

Так, например, для расчета средней заработной платы работников предприятия необходимо общий фонд заработной платы разделить на число работников:

Числитель исходного соотношения средней представляет собой определяющий показатель. Для средней заработной платы таким определяющим показателем является фонд заработной платы. Независимо от того, какой первичной информацией мы располагаем - известен ли нам общий фонд заработной платы или заработная плата и численность работников, занятых на отдельных должностях, или какие-либо другие исходные данные - в любом случае среднюю заработную плату можно получить только через данное исходное соотношение средней.

Для каждого показателя, используемого в экономическом анализе, можно составить только одно истинное исходное соотношение для расчета средней. Если, например, требуется рассчитать средний размер вклада в банке, то исходное соотношение будет следующим:

Если же необходимо определить среднюю процентную ставку по кредитам, выданным на один и тот же срок, то потребуется следующее исходное соотношение:

Однако от того, в каком виде представлены исходные данные для расчета средней, зависит, каким именно образом будет реализовано ее исходное соотношение. В каждом конкретном случае для реализации исходного соотношения потребуется одна из следующих форм средней величины:

средняя арифметическая,

средняя гармоническая,

средняя геометрическая,

средняя квадратическая, кубическая и т.д.

Перечисленные средние объединяются в общей формуле средней степенной (при различной величине k):

где: х j - i-ый вариант осредняемого признака (i=l,n)

f, - вес i-ro варианта.

Помимо степенных средних в экономической практике также используются средние структурные, среди которых наиболее распространены мода и медиана. При осреднении уровней динамических рядов применяются различные виды средней хронологической.

Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая, которая, как и все средние, в зависимости от характера имеющихся данных, может быть простой или взвешенной. Эта форма средней используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным.

Предположим, шесть торговых предприятий фирмы имеют следующий объем товарооборота за месяц:

Торговое предприятие

1

2

3

4

5

6

Товарооборот (млн.руб.)

25

18

27

32

15

21

Для того, чтобы определить средний месячный товарооборот в расчете на одно предприятие, необходимо воспользоваться следующим исходным соотношением:

Используя приведенные в предыдущем параграфе условные обозначения, запишем формулу данной средней:

(4.3.)

С учетом имеющихся данных получим:

В данном случае мы использовали формулу средней арифметической простой (невзвешенной).

Средняя арифметическая взвешенная. При расчете средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторяться, встречаться по несколько раз. В подобных случаях расчет средней производится по сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными или интервальными.

Рассмотрим следующий условный пример:

Таблица 4.3. Сделки по акциям эмитента «X» за торговую сессию

Сделка

Количество проданных акций, шт

Курс продажи, руб.

  • 1
  • 2
  • 3
  • 700
  • 200
  • 950
  • 420
  • 440
  • 410

Определим по данному дискретному вариационному ряду средний курс продажи 1акции, что можно сделать, только используя следующее исходное соотношение:

Чтобы получить общую сумму сделок необходимо по каждой сделке курс продажи умножить на количество проданных акций и полученные произведения сложить. В конечном итоге мы будем иметь следующий результат:

Расчет среднего курса продажи произведен по формуле средней арифметической взвешенной:

(4.4.)

В отдельных случаях веса могут быть представлены не абсолютными величинами, а относительными (в процентах или долях единицы). Так, в приведенном выше примере количество проданных в ходе каждой сделки акций соответственно составляет 37,8% (0,378); 10,8% (0,108) и 51,4% (0,514) от их общего числа. Тогда, с учетом несложного преобразования формулы (4.4.) получим:

Или (4.5.)

На практике наиболее часто встречаемая при расчете средних ошибка заключается в игнорировании весов в тех случаях, когда эти веса в действительности необходимы. Предположим, имеются следующие данные:

Таблица 4.4. Себестоимость продукции «Z»

Предприятие

Стоимость единицы продукции, руб.

  • 1
  • 2
  • 37
  • 39

Можно ли по имеющимся данным определить среднюю себестоимость данной продукции по двум предприятиям, вместе взятым? Можно, но только в том случае, когда объемы производства данной продукции на двух предприятиях совпадают. Тогда средняя себестоимость составит 38,0 руб. (доказательство этого правила будет приведено ниже). Однако на первом предприятии за рассматриваемый период может быть произведено, к примеру, 50 единиц продукции, а на втором - 700 единиц. Тогда для расчета средней себестоимости потребуется уже средняя арифметическая взвешенная:

Общий вывод заключается в следующем: использовать среднюю арифметическую невзвешенную можно только тогда, когда точно установлено отсутствие весов или их равенство.

При расчете средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам. Рассмотрим следующий пример:

Таблица 4.5. Распределение сотрудников предприятия по возрасту

Возраст (лет)

Число сотрудников (чел.)

До 25

  • 25 - 30
  • 30 - 40
  • 40 - 50
  • 50 - 60
  • 60 и более
  • 8
  • 32
  • 68
  • 49
  • 21
  • 3

Итого:

181

Для определения среднего возраста персонала найдем середины возрастных интервалов. При этом величины открытых интервалов (первого и последнего) условно приравниваются к величинам интервалов, примыкающих к ним (второго и предпоследнего). С учетом этого середины интервалов будут следующими:

22,5 27,5 35,0 45,0 55,0 65,0

Используя среднюю арифметическую взвешенную, определим средний возраст работников данного предприятия:

Свойства средней арифметической. Средняя арифметическая обладает некоторыми математическими свойствами, более полно раскрывающими ее сущность и в ряде случаев используемыми при ее расчете. Рассмотрим эти свойства:

1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты:

(4.6.)

Действительно, если мы обратимся к приведенному выше примеру расчета среднего курса продажи акций (табл. 5.1.), то получим следующее равенство (за счет округления среднего курса правая и левая части равенства в данном случае будут несколько отличаться):

  • 417,03 х 1850 = 420x700 + 440x200 + 410x950
  • 2. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю:

(4.7.)

Для нашего примера:

(420-417,03) х 700 + (440-417,03) х 200 + (410-417,03) х 950 ? 0

Математическое доказательство данного свойства сводится к следующему:

3. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произвольной величины С:

(4.8.)

Следовательно, сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от произвольной величины С больше суммы квадратов их отклонений от своей средней на величину

На использовании этого свойства базируется расчет центральных моментов, представляющих собой характеристики вариационного ряда при С = х:1

где k определяет порядок момента (центральный момент второго порядка представляет собой дисперсию).

4. Если все осредняемые варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на ту же величину:

(4.9.)

Так, если все курсы продажи акций увеличить на 15 руб., то средний курс также увеличится на 15 руб.:

5. Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в А раз, то средняя также соответственно увеличится или уменьшится в А раз:

(4.10.)

1При С=0 получают начальные моменты (начальный момент 1-го порядка - средняя арифметическая и т.д.).

Предположим, курс продажи в каждом случае возрастет в 2 раза. Тогда и средний курс также увеличится на 100%:

6. Если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая от этого не изменится:

(4.11.)

Так, в нашем примере удобнее было бы рассчитывать среднюю, предварительно поделив все веса на 100:

Исходя из данного свойства, можно заключить, что если все веса равны между собой, то расчеты по средней арифметической взвешенной и средней арифметической не-взвешенной приведут к одному и тому же результату.

Кроме средней арифметической при расчете статистических показателей могут использоваться и другие виды средних. Однако в каждом конкретном случае, в зависимости от характера имеющихся данных, существует только одно истинное среднее значение показателя, являющееся следствием реализации его исходного соотношения.

Средняя гармоническая взвешенная используется, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель. Рассмотрим расчет средней урожайности, являющейся одним из основных показателей эффективности производства в агробизнесе:

Таблица 5.6. Валовой сбор и урожайность сельскохозяйственной культуры «Y» по районам области

Район

Валовый сбор, тыс. тонн

Урожайность, ц/га

А

Б

В

Г

Д

  • 36
  • 53
  • 29
  • 78
  • 20
  • 13
  • 9
  • 15
  • 8
  • 17

Средняя урожайность любой сельскохозяйственной культуры в среднем по нескольким территориям, агрофирмам, фермерским хозяйствам и т.п. может быть определена только на основе следующего исходного соотношения:

Общий валовой сбор мы получим простым суммированием валового сбора по районам. Данные же о посевной площади отсутствуют, но их можно получить, разделив валовой сбор каждого района на урожайность. С учетом этого определим искомую среднюю, предварительно переведя для сопоставимости тонны в центнеры:

Таким образом, общая посевная площадь данной культуры в целом по области составляла 215,2 тыс.га, а средняя урожайность - 10,0 ц с одного гектара.

В данном случае расчет произведен по формуле средней гармонической взвешенной:

(4.12.)

Данная формула используется для расчета средних показателей не только в статике, но и в динамике, когда известны индивидуальные значения признака и веса W за ряд временных интервалов.

Средняя гармоническая невзвешенная. Эта форма средней, используемая значительно реже, имеет следующий вид:

(4.13.)

Для иллюстрации области се применения воспользуемся упрощенным условным примером. Предположим, в фирме, специализирующейся на торговле по почте на основе предварительных заказов, упаковкой и отправкой товаров занимаются два работника. Первый из них на обработку одного заказа затрачивает 5 мин., второй - 15 мин. Каковы средние затраты времени на 1 заказ, если общая продолжительность рабочего времени у работников равна?

На первый взгляд, ответ на этот вопрос заключается в осреднении индивидуальных значений затрат времени на 1 заказ, т.е. (5+15):2=10, мин. Проверим обоснованность такого подхода на примере одного часа работы. За этот час первый работник обрабатывает 12 заказов (60:5), второй - 4 заказа (60:15), что в сумме составляет 16 заказов. Если же заменить индивидуальные значения их предполагаемым средним значением, то общее число обработанных обоими работниками заказов в данном случае уменьшится:

Подойдем к решению через исходное соотношение средней. Для определения средних затрат времени необходимо общие затраты времени за любой интервал (например, за час) разделить на общее число обработанных за этот интервал двумя работниками заказов:

Если теперь мы заменим индивидуальные значения их средней величиной, то общее количество обработанных за час заказов не изменится:

Подведем итог: средняя гармоническая невзвешенная может использоваться вместо взвешенной в тех случаях, когда значения Wi для единиц совокупности равны (в рассмотренном примере рабочий день у сотрудников одинаковый).

Средняя геометрическая. Еще одной формулой, по которой может осуществляться расчет среднего показателя, является средняя геометрическая:

- невзвешенная (4.14.)

- взвешенная

Наиболее широкое применение этот вид средней получил в анализе динамики для определения среднего темпа роста, что будет рассмотрено в соответствующей главе.

Средняя квадратическая. В основе вычислений ряда сводных расчетных показателей лежит средняя квадратическая:

- невзвешенная (4.15.)

- взвешенная

Наиболее широко этот вид средней используется при расчете показателей вариации.

В статистическом анализе также применяются степенные средние 3-го порядка и более высоких порядков.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Загрузить   След >