Принцип Даламбера

Силы инерции в динамике материальной точки и механической системы

Силой инерции материальной точки называется произведение массы точки на ее ускорение, взятое со знаком минус, т. е. Силы инерции в динамике применяются в следующих случаях:

  • 1. При исследовании движения материальной точки в неинерциальной (подвижной) системе координат, т. е. относительного движения. Это переносная и кориолисова силы инерции, которые часто называют эйлеровыми.
  • 2. При решении задач динамики с использованием метода кинетостатики. В основу этого метода положен принцип Даламбера, в соответствии с которым вводятся силы инерции материальной точки или системы материальных точек, движущихся с некоторым ускорением в инерциальной системе отсчета. Эти силы инерции называются даламберовыми.
  • 3. Даламберовы силы инерции применяются также при решении задач динамики с использованием принципа Лагранжа-Даламбера или общего уравнения динамики.

Выражение в проекциях на оси декартовых координат

, , ,

где - модули проекций ускорения точки на оси декартовых координат.

При криволинейном движении точки силу инерции можно разложить на касательную и нормальную :; , , - модуль касательного и нормального ускорений; - радиус кривизны траектории;

V - скорость точки.

Принцип Даламбера для материальной точки

Если к несвободной материальной точке, движущейся под действием приложенных активных сил и сил реакций связей, приложить ее силу инерции, то в любой момент времени полученная система сил будет уравновешенной, т. е. геометрическая сумма указанных сил будет равна нулю.

механический точка тело материальный

,

где - равнодействующая активных сил, приложенных к точке; -равнодействующая реакций связей, наложенных на точку; сила инерции материальной точки. Примечание: На самом деле сила инерции материальной точки приложена не к самой точке, а к тому телу, которое сообщает ускорение данной точке.

Принцип Даламбера для механической системы

Геометрическая сумма главных векторов внешних сил, действующих на систему, и сил инерции всех точек системы, а также геометрическая сумма главных моментов этих сил относительно некоторого центра для несвободной механической системы в любой момент времени равны нулю, т.

е. ;

Главный вектор и главный момент сил инерции твердого тела

Главный вектор и главный момент сил инерции точек системы определяются отдельно для каждого твердого тела, входящего в данную механическую систему. Их определение основывается на известном из статики методе Пуансо о приведении произвольной системы сил к заданному центру.

На основании этого метода силы инерции всех точек тела в общем случае его движения можно привести к центру масс и заменить их главным вектором * и главным моментом относительно центра масс. Они определяются по формулам т. е. при любом движении твердого тела главный вектор сил инерции равен со знаком минус произведению массы тела на ускорение центра масс тела; ,где rkc -- радиус-вектор k-й точки, проведенный из центра масс. Эти формулы в частных случаях движения твердого тела имеют вид:

1. Поступательное движение.

2. Вращение тела вокруг оси, проходящей через центр масс

,

3. Плоскопараллельное движение

Введение в аналитическую механику

Основные понятия аналитической механики

Аналитическая механика - область (раздел) механики, в котором изучается движение или равновесие механических систем с помощью общих, единых аналитических методов, применяемых для любых механических систем.

Рассмотрим наиболее характерные понятия аналитической механики.

1. Связи и их классификация.

Связи -- любые ограничения в виде тел или каких-либо кинематических условий, накладываемые на движения точек механической системы. Эти ограничения могут быть записаны в виде уравнений или неравенств.

Геометрические связи -- связи, уравнения которых содержат только координаты точек, т. е. ограничения накладываются только на координаты точек. Это связи в виде тел, поверхностей, линий и т. п.

Дифференциальные связи -- связи, накладывающие ограничения не только на координаты точек, но и на их скорости.

Голономные связи -- все геометрические связи и те дифференциальные, уравнения которых могут быть проинтегрированы.

Неголономные связи -- дифференциальные неинтегрируемые связи.

Стационарные связи -- связи, в уравнения которых не входит явно время.

Нестационарные связи -- связи, изменяющиеся с течением времени, т. е. в уравнения которых явно входит время.

Двусторонние (удерживающие) связи -- связи, ограничивающие движение точки в двух противоположных направлениях. Такие связи описываются уравнениями.

Односторонние (неудерживающие) связи - связи, ограничивающие движение только в одном направлении. Такие связи описываются неравенствами

2. Возможные (виртуальные) и действительные перемещения.

Возможными или виртуальными перемещениями точек механической системы называются воображаемые бесконечно малые перемещения, которые допускают наложенные на систему связи.

Возможным перемещением механической системы называется совокупность одновременных возможных перемещений точек системы, совместимых со связями. Пусть механическая система -- кривошипно-шатунный механизм.

Возможным перемещением точки А является перемещение которое в силу его малости считается прямолинейным и направленным перпендикулярно к ОА.

Возможным перемещением точки В (ползуна) является перемещение в направляющих. Возможным перемещением кривошипа ОА является поворот на угол , а шатуна АВ -- на угол вокруг МЦС (точка Р).

Действительными перемещениями точек системы называются также элементарные перемещения, которые допускают наложенные связи, но с учетом начальных условий движения и действующих на систему сил.

Число степеней свободы S механической системы - это число ее независимых возможных перемещений, которые можно сообщить точкам системы в фиксированный момент времени.

Принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа)

Принцип возможных перемещений или принцип Лагранжа выражает условие равновесия несвободной механической системы, находящейся под действием приложенных активных сил. Формулировка принципа.

Для равновесия несвободной механической системы с двусторонними, стационарными, голономными и идеальными связями, находящейся в покое под действием приложенных активных сил, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил равнялась пулю на любом возможном перемещении системы из рассматриваемого положения равновесия:

Общее уравнение динамики (принцип Лагранжа-Даламбера)

Общее уравнение динамики применяется к исследованию движения несвободных механических систем, тела или точки которых движутся с некоторыми ускорениями.

В соответствии с принципом Даламбера совокупность приложенных к механической системе активных сил, сил реакций связей и сил инерции всех точек системы образует уравновешенную систему сил.

Если к такой системе применить принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа), то получим объединенный принцип Лагранжа-Даламбера или общее уравнение динамики. Формулировка этого принципа.

При движении несвободной механической системы с двусторонними, идеальными, стационарными и голономными связями сумма элементарных работ всех приложенных к точкам системы активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю:

Уравнения Лагранжа второго рода

Уравнения Лагранжа второго рода - это дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах.

Для системы с S степенями свободы эти уравнения имеют вид

Разность полной производной по времени от частной производной от кинетической энергии системы по обобщенной скорости и частной производной от кинетической энергии по обобщенной координате равна обобщенной силе.

Уравнения Лагранжа для консервативных механических систем. Циклические координаты и интегралы

Для консервативной системы обобщенные силы определяются через потенциальную энергию системы по формуле

Тогда уравнения Лагранжа перепишутся в виде

Так как потенциальная энергия системы есть функция только обобщенных координат, т. е. , то С учетом этого представим в виде , где Т - П = L -- функция Лагранжа (кинетический потенциал). Окончательно уравнения Лагранжа для консервативной системы

Устойчивость положения равновесия механической системы

Вопрос об устойчивости положения равновесия механических систем имеет непосредственное значение в теории колебания систем.

Положение равновесия может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным.

Устойчивое положение равновесия - положение равновесия, при котором точки механической системы, выведенные из этого положения, в дальнейшем движутся под действием сил в непосредственной близости возле своего равновесного положения.

Это движение будет обладать той или иной степенью повторяемости во времени, т. е. система будет совершать колебательное движение.

Неустойчивое положение равновесия - положение равновесия, из которого при сколь угодно малом отклонении точек системы в дальнейшем действующие силы еще дальше будут удалять точки от их равновесного положения.

Безразличное положение равновесия -- положение равновесия, когда при любом малом начальном отклонении точек системы от этого положения в новом положении система также остается в равновесии..

Для определения устойчивого положения равновесия механической системы существуют различные методы.

Рассмотрим определение устойчивого положения равновесия на основании теоремы Лагранжа-Дирихле

Если в положении равновесия консервативной механической системы с идеальными и стационарными связями ее потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия является устойчивым.

Явление удара. Ударная сила и ударный импульс

Явление, при котором за ничтожно малый промежуток времени скорости точек тела изменяются на конечную величину, называется ударом. Этот промежуток времени называется временем удара. При ударе в течение бесконечно малого промежутка времени действует ударная сила. Ударной силой называется сила, импульс которой за время удара является конечной величиной.

Eсли конечная по модулю сила действует в течение времени , начиная свое действие в момент времени , то ее импульс имеет вид

Также при действии ударной силы на материальную точку можно сказать, что:

действием немгновенных сил за время удара можно пренебречь;

перемещение материальной точки за время удара можно не учитывать;

результат действия ударной силы на материальную точку выражается в конечном изменении за время удара вектора ее скорости.

Теорема об изменении количества движения механической системы при ударе

изменение количества движения механической системы за время удара равно геометрической сумме всех внешних ударных импульсов, приложенных к точкам систем, где - количество движения механической системы в момент окончания действия ударных сил, - количество движения механической системы в момент начала действия ударных сил, - внешний ударный импульс.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Загрузить   След >