Определение устойчивости системы по критерию Гурвица
Для определения устойчивости системы по Гурвицу приравниваем к 0 знаменатель передаточной функции по уравнению:
При положительных коэффициентах критерий Гурвица сводится к проверке неравенства:
Так как выполняется данное условие, следовательно система автоматического управления устойчива.
Определяем критический коэффициент усиления разомкнутой системы по формуле:
;
Проверка устойчивости САУ по критерию Михайлова
Для проверки САУ по критерию Михайлова в характеристическом уравнении для замкнутой системы заменяем оператор дифференцирования Р на jw, полученное комплексное число представляем в алгебраической форме записи:
Изменяя значение w от 0 до определяем значение функции и строим график на комплексной плоскости. На первоначальном этапе определяем точки пересечения годографа Михайлова с действительной и мнимой осями.
- 1) ;
- 2) ;
;
.
Изменяя значение w определяем U(w) и V(w), полученные данные сводим в таблицу 4.
Таблица 4
|
W |
0 |
0.5 |
1.0 |
1.5 |
1.7 |
2.0 |
2.3 |
2.5 |
3.0 |
|
|
U(w) |
1,44 |
0.0475 |
-5.06 |
-16.67 |
-24.118 |
-39.44 |
-61.0857 |
-79.8725 |
-146.34 |
|
|
V(W) |
0 |
2.308 |
3.038 |
1.152 |
-0.374 |
-3.308 |
-6.612 |
-8.680 |
-11.142 |
По данным таблицы строим годограф, рисунок 8.
Анализируя годограф Михайлова делаем следующие выводы:
САУ по критерию Михайлова устойчива, так как при показателе степени характеристического уравнения n=5 кривая обходит в положительном направлении 3 квадрата.
Определенный по графику коэффициент максимального усиления kmax= - 47,3
KД- коэффициент усиления, KД =4,5
KЗ - коэффициент запаса устойчивости, KЗ = 15,30
Сравнения его со значением, определенным по критерию Гурвица, мы видим, что они равны: