Определение запасаустойчивости АСР по фазе

Для определения запаса устойчивости по фазе воспользуемся критерием Михайлова - Найквиста. Для этого в периодической функции разомкнутой системы:

Выпишем отдельно числитель и разделим его на вещественную и мнимую составляющие, заменив P на jw:

A=jw2+2,45+1,44

UA(w) =4,44

jVA(w) =jw+2.45w

Амплитудно-частотную характеристику численно найдем по формуле:

Фазово-частотную характеристику численно найдем по формуле:

цA(w) = -arctg VA(w)/UA(w) = -arctg 2.45w/1.44;

Выпишем знаменатель и так же разделим его на вещественную и мнимую части:

B= 0.12?jw4-0.64?jw3+1.12jw2+3.45jw+1.44;

UB(w) =1.12w2+0.12w4;

jVB(w) =3.45?jw-0.64jw3;

Амплитудно-частотную характеристику определим по формуле:

;

Чтобы система была устойчива, необходимо, чтобы логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы удовлетворяли следующему требованию: необходимо и достаточно, чтобы при всех частотах, при которых ЛАЧХ положительна, значения фазы не превышали «-р».

Так как передаточная функция системы содержит интегрирующее звено , то эта система является статической и кривая зависимости никогда не пересечет «-р», то есть система заведомо устойчива.

Фазово-частотную характеристику определим по формуле

цB(w) = -arctg VB(w)/UB(w) = -arctg (3.45jw-0.64?w3)/(1.44-1.12?w2+0.12w4);

;

;

ц(w) = -Р/2-[ arctg цA(w)+ arctg цB(w)]

ц(w) = -Р/2-[ arctg 2.45jw/1.44+ arctg (3.45jw-0.64jw3)/( 1.44-

-1.12w2+0.12w4)]

Изменяя значение w от 0 до рассчитываем значение действительной и мнимой составляющих. Результаты вычислений сводим в таблицу 5.

По данным таблицы строим годограф, рисунок 9.

Проведя прямую из начала координат до пересечения кривой с окружностью единичного радиуса, определяем угол ц между кривой и осью абсцисс. Полученное численное значение равно запасу устойчивости системы по фазе: ц=1,31 рад =75

Рисунок 9 - Запас устойчивости по фазе

По графику определяем запас устойчивости по фазе

Дц=2,25 рад = 128,916°, больше 30° - следовательно система является устойчивой.