Построение статической характеристики объекта

Постановка задачи

Статические характеристики определяют зависимость между выходной и входной величинами звена или системы в установившемся состоянии.

Необходимо найти неизвестные параметры функции f(x) и некоторый минимизирующий критерий близости f(x) к экспериментальным данным y.

Таблица 1

Статическая характеристика объекта регулирования.

Для построения статической характеристики необходимо табличные данные аппроксимировать полиномами первого и второго порядков.

Затем необходимо рассчитать сумму квадратов отклонений для каждой статистической характеристики объекта, и выбрать такую характеристику, у которой сумма квадратов отклонений будет наименьшей. Затем для этой модели рассчитаем коэффициент передачи объекта.

Аппроксимация полиномом первого порядка

Модель первого порядка описывается уравнением вида:

y=a•x+b

Для нахождения коэффициентов а и b составим систему линейных алгебраических уравнений, причем число уравнений в системе равно числу состояний объекта в эксперименте.

Для решения данной системы алгебраических уравнений воспользуемся матричным методом наименьших квадратов. Составим матрицы входных и выходных сигналов:

Получим систему с двумя неизвестными: X . A = Y

Транспонируем матрицу Х:

Умножив слева обе части исходной системы на транспонированную матрицу коэффициентов, получим систему, число уравнений в которой равно числу неизвестных, а решение этой системе будет доставлять минимум критерий оптимизации.

XT . X . A = XT . Y

Получим систему двух линейных алгебраических уравнений первого порядка:

Найдем главный определитель матрицы:

Найдем вспомогательные определители системы:

Найдем коэффициенты а и b:

Таким образом, получим полином:

у =0.428 . х - 0.198

Для оценки полученного полинома вычислим значения функции и сравним их с экспериментальными данными.

Результаты вычисления сведем в таблицу.

таблица 2

Сумма квадратов отклонений:

уi 2 = 0.174

Ниже приведен проверочный расчет модели объекта первого порядка на ЭВМ в системе MathCad.